Chapitre 1 : Fonctions et 2^nd degré

I Rappels

voir fiches 1,2,3,4,5 et fiche équations-inéquations

II Fonctions polynômes du 2^nd degré

1 / Définition

On appelle fonction polynôme du 2^nd degré toute fonction définie sur R par f:x?ax²+bx+c.

ex : f(x)=5x²+3x+1

g(x)=3x²-?3x+?

2 / Polynômes quelconques ou de degré n

Toute expression de la a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³...+a_nxⁿ où a₀,a₁,a₂,a₃,a_n désignent des réels et n un entier naturel est un polynôme ; si a ? 0, son degré est n.

ex : p(n)=7x⁹-5x⁴+3x²-1/2x degré de p=9

Remarque : la forme développée d'un polynôme est unique

3 / Mise sous forme canonique

f(x)=2x²-4x-1

f(x)=2(x²-2-1/2)

f(x)=2((x-1)²-1-1/2)

f(x)=2((x-1)²-3/2)

cas général: f(x)=ax²+bx+c

f(x)=a(x²+b/a x+c/a)

or (x+b/2a)²=x²+b/a x+b²/4a²

on a donc f(x)=a[(x+b/2a)²-?/4a²]

4 / Variations d'une fonction polynôme du 2^nd degré

f(x)=ax²+bx+c

d'après le petit 3, f(x)=a[(x+b/2a)²-?/4a²]

on pose ?=b²-4ac

soit u et v deux réels tels que u < v < -b/2a

u+b/2a < v+b/2a < 0

(u+b/2a)² > (v+b/2a)²> 0

(u+b/2a)²-?/4a² > (v+b/2a)²-?/4a²

si a > 0, a[(u+b/2a)²-?/4a²] > a[(v+b/2a)²-?/4a²]

f(u) > f(v) donc f est décroissante sur ]-00;-b/2a]

si a < 0, a[(u+b/2a)²-?/4a²] < a[(v+b/2a)²-?/4a²]

f(u) < f(v) donc f est croissante sur ]-00;-b/2a]

même raisonnement pour u > v > -b/2a

Bilan :

Théorème : Soit f(x)=ax²+bx+c avec a,b,c réels et a ? 0

Soit a > 0, f est décroissante sur ]-00;-b/2a] et croissante sur [-b/2a;+00[

f admet un minimum égal à -?/4a atteint en x=-b/2a

5 / Courbe représentative

La courbe représentative d'une fonction polynôme du 2^nd degré est une parabole. Son sommet a pour abscisse -b/2a et la droite d'équation x=-b/2a est l'axe de symétrie de cette parabole.

Remarque :

si a > 0, si a < 0,

III Équations et inéquations du 2^nd degré

1 / Résolution de ax²+bx+c=0 avec a ? 0

Soit ax²+bx+c=0 avec a ? 0

a[(x-b/2a)²-?/4a²]=0 où ?=b²-4ac

Comme a différent de 0, (x+b/2a)²=?/4a²

Si ? < 0, ?/4a²< 0 or (x+b/2a)² ? 0 donc pas de solution

Si ?=0, (x+b/2a)²=0 donc x=-b/2a, il y a une solution double à l'équation

Si ? > 0, x+b/2a=??/4a² ou x+b/2a=-??/4a²

x=-b/2a+??/?4a² ou x=-b/2a-??/?4a²

x=-b+??/2a ou x=-b-??/2a

il y a deux solutions distinctes

Théorème sur la résolution d'une équation du 2^nd degré :

Soit ax²+bx+c=0 avec a,b,c réels et a ? 0

On pose ?=b²-4ac

Si ? < 0, l'équation n'a pas de solution réelle S=ensemble vide

Si ?=0, l'équation a une solution double S={-b/2a}

Si ? > 0, l'équation a deux solutions distinctes S={-b+??/2a;-b-??/2a}

Vocabulaire

Toute solution de l'équation p(x)=0 est appelée racine dupolynôme

Si ? < 0, p(x)=0 a une solution double et p(x) a une racine double

Si ? > 0, p(x)=0 a deux racines distinctes

2 / Factorisation d'un polynôme du 2^nd degré

Soit p(x)=ax²+bx+c avec a ? 0

p(x)=a[(x-b/2a)²-?/4a²]

Si ? < 0, -??/4a²est un nombre strictement positif. Crochet supérieur à 0. p(x) ne se factorise pas.

Si ?=0, p(x)= a(x-b/2a)²

Si ? > 0, p(x)=a[(x-b/2a)²-(??/2a)²]

p(x)=a(x-b/2a+??/2a)(x-b/2a-??/2a)

p(x)=a(x-(-b-??/2a))(x-(-b+??/2a))

p(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

Théorème sur la factorisation du 2^nd degré :

Soit p(x)=ax²+bx+c où a,b,c réels et a ? 0

On pose ?=b²-4ac

Si ? < 0, p(x) ne se factorise pas

Si ?=0, p(x)= a(x-b/2a)²

Si ? > 0, p(x)=a(x-x₁)(x-x₂)

3 / Étude du signe d'un polynôme du 2^nd degré

Théorème de l'étude des signes :

Soit p(x)=ax²+bx+c avec a ? 0

p(x)=a[(x-b/2a)²-?/4a²]

On pose ?=b²-4ac

Si ? < 0, p(x) est toujours du signe de a

Si ?=0, p(x) est toujours du signe de a sauf en x=-b/2a où il est nul

Si ? > 0, p(x) est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de -a à l'intérieur et il est nul aux racines

4 / Exemples de problèmes se ramenant à la résolution d'équations du 2^nd degré

*-2x³-3x²+2x+3=0

soit p(x)=-2x³-3x²+2x+3

p(1)=0

p(x)=(x-1)( ax²+bx+c)

p(x)=ax³+bx²+cx-ax^2-bx-c

p(x)=ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c

a=2 a=-2

b-a=-3 b=-5

c-b=2 c=-3

-c=3

p(x)=(x-1)(-2x²-5x-3)

p(x)=0 ? x=1 ou -2x²-5x-3=0

? x=1 ou ?=(-5)²-4*-2*-3

? x=1 ou ?=1

? x=1 ou x=-1 ou x=-3/2

*équation bicarrée x⁴+3x²-4=0

On pose X=x² donc on a X²+3X-4=0

On pose ?=b²-4ac

X=-4 ou X=1

Or X=x² donc x²=-4 ou x²=1

impossible ou x=1 ou x=-1

*équation irrationnelle ?x-2=3-x

x²-2 ? 0 x ? 2

? 3-x ? 0 ? x ? 3 ? 2 ? x ? 3 On résous le polynôme et on prend la

x-2=(3-x)²x²-7x+11=0 x²-7x+11=0 solution correspondant à l'encadrement

*équations rationnelles ou équations quotients

On résous l'équation et on indique les valeurs interdites pour lesquelles le dénominateur s'annule